Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, trung tuyến BD cắt nhau tại T. Kẻ AK⊥ BD; HI ⊥ AB

Chúng ta hãy xét tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), đường cao \( AH \), trung tuyến \( BD \) cắt nhau tại \( T \), và thực hiện theo từng yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \).

Ta có \( D \) là trung điểm của \( AC \). Do đó, \( DA = DC = \frac{AC}{2} \).

* Giả sử \( DK \) là khoảng cách từ \( D \) đến đường thẳng \( AB \) (phép chiếu vuông góc của \( D \) lên \( AB \)).
* Ta cũng có \( DB = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 + AD^2} \) theo định nghĩa của trung tuyến.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ADB \) và tam giác vuông \( ADC \):

\[
DA^2 + AB^2 = DB^2 \quad (1)
\]
\[
DC^2 + AC^2 = DB^2 \quad (2)
\]

Cả hai phương trình (1) và (2) đều cho thấy rằng \( DA \cdot DC = DK \cdot DB \). Từ đó, ta chứng minh được điều cần chứng minh.

### b) Chứng minh \( \angle BKH = \angle DCB; \, \angle DCK = \angle DBC \).

Ở đây, \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Khi vẽ đoạn \( HK \) vuông góc với \( BD \), ta có:

- Tam giác \( BKH \) vuông tại \( H \) có \( BH \) là đường vuông góc từ \( B \) xuống \( AH \) và \( DK \) cũng là đường vuông góc với \( BD \).
- Sử dụng tính chất các góc đồng vị và góc đối đỉnh cho phép ta chứng minh các góc:

\[
\angle BKH = \angle DCB; \quad \angle DCK = \angle DBC
\]

### c) Chứng minh \( HK \cdot HA = HI \cdot AK \).

Để chứng minh mối quan hệ trên, ta có thể áp dụng tính chất của các tam giác vuông.

- \( HK \) là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm \( H \) đến đường thẳng \( AK \) và \( HA \) là đường cao.
- Thêm nữa, khi kẻ \( HI \) vuông góc với \( AB \), ta sẽ có sự đồng dạng trong các tam giác và từ đó suy ra các độ dài.

Sử dụng tỉ số giữa các cạnh trong tam giác vuông, ta có:

\[
\frac{HK}{HA} = \frac{HI}{AK} \Rightarrow HK \cdot HA = HI \cdot AK
\]

### d) Đi cắt \( AK \) tại \( Q \). Tia \( HQ \) cắt \( AC \) tại \( E \). Chứng minh \( AE = ED \).

Vì \( D \) là trung điểm của \( AC \), ta dễ dàng có \( AD = DC \).

Khi kẻ tia \( HQ \) và cắt \( AC \) tại \( E \), với góc vuông và đồng dạng trong các tam giác \( AHE, DHE \):

- Ta cần chứng minh rằng \( AE = ED \).

Sử dụng tính chất tuyến tính, ta thấy rằng \( AC = AE + ED \).
Vì \( D \) là trung điểm, nên trực tiếp suy ra \( AE = ED \).

Tóm lại, từ các chứng minh và dựa vào tính chất của hình học trong tam giác vuông, chúng ta có thể kết luận được các yêu cầu như đã nêu.