Để chứng minh rằng đa thức \( Q(x) = x^4 + 3x^2 + 1 \) không có nghiệm với mọi giá trị của \( x \), chúng ta có thể áp dụng các kỹ thuật bất đẳng thức.

1. **Đặt \( y = x^2 \)**:
Khi đó, \( Q(x) \) có thể viết lại thành:
\[
Q(x) = y^2 + 3y + 1
\]
với \( y \geq 0 \) (vì \( y = x^2 \) không thể âm).

2. **Xét phương trình bậc hai**:
Đa thức bậc hai \( y^2 + 3y + 1 \) sẽ không có nghiệm nếu và chỉ nếu delta của nó nhỏ hơn 0:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5
\]
Do đó, delta là dương, cho thấy rằng đa thức này có hai nghiệm thực phân biệt.

3. **Giá trị nhỏ nhất**:
Tính giá trị nhỏ nhất của đa thức \( Q(y) \):
\[
Q(y) = 1 + 3y + y^2
\]
Đạo hàm của \( Q(y) \) là:
\[
Q'(y) = 2y + 3
\]
Giải phương trình \( Q'(y) = 0 \) ta có:
\[
2y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}
\]
Tuy nhiên, \( y \) không thể âm, nên tại \( y = 0 \):
\[
Q(0) = 1 > 0
\]

4. **Kết luận**:
Do đó, với mọi giá trị \( y \geq 0 \), \( Q(y) \) luôn dương \( (Q(y) > 0) \). Điều này dẫn đến kết luận rằng \( Q(x) = x^4 + 3x^2 + 1 \) không có nghiệm thực với mọi giá trị của \( x \), tức là:
\[
Q(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]