Để giải phương trình

\[
\frac{1}{x^2 + 3x + 2} + \frac{1}{x^2 + 5x + 6} + \frac{1}{x^2 + 7x + 12} + \ldots + \frac{1}{x^2 + 25x + 156} = \frac{3}{91},
\]

đầu tiên, chúng ta cần rút gọn các biểu thức trong dấu phân số.

Xét từng thành phần:

1. **Phân tích tử số**:

Các biểu thức trong mẫu số có dạng \(x^2 + bx + c\):
- \(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\)
- \(x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\)
- \(x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)\)
- ...
- \(x^2 + 25x + 156 = (x+12)(x+13)\)

Như vậy, các mẫu số có thể được viết là:
\[
\begin{align*}
(x+1)(x+2), \\
(x+2)(x+3), \\
(x+3)(x+4), \\
&\ldots \\
(x+12)(x+13).
\end{align*}
\]

2. **Tổng 12 thành phần**:

Tổng các mẫu số là từ \( (x+1)(x+2) \) đến \( (x+12)(x+13) \), tức là có 12 hạng tử.

3. **Biểu thức chung**:

Mỗi mẫu số có thể viết thành tổng như sau:
\[
\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}
\]
với \( k \) từ 1 đến 12.

4. **Công thức phân số chuẩn hóa**:

Sử dụng công thức:
\[
\frac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{1}{(k+1)} \left( \frac{1}{x+k} - \frac{1}{x+k+1} \right).
\]

5. **Tính tổng**:

Áp dụng công thức trên cho từng phần:
\[
\sum_{k=1}^{12} \frac{1}{(x+k)(x+k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+13} \right).
\]

Do đó, biểu thức trên trở thành:
\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+13} \right) = \frac{(x+13)-(x+1)}{2(x+1)(x+13)} = \frac{12}{2(x+1)(x+13)} = \frac{6}{(x+1)(x+13)}.
\]

6. **Giải phương trình**:

Ta có phương trình:
\[
\frac{6}{(x+1)(x+13)} = \frac{3}{91}.
\]

Từ đó, nhân chéo:
\[
6 \cdot 91 = 3 \cdot (x+1)(x+13).
\]

Tính giá trị:
\[
546 = 3(x^2 + 14x + 13),
\]
suy ra:
\[
3x^2 + 42x + 39 - 546 = 0 \Rightarrow 3x^2 + 42x - 507 = 0.
\]

7. **Giải phương trình bậc 2**:

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]
với \( a = 3, b = 42, c = -507 \):
\[
x = \frac{-42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-507)}}{2 \cdot 3} = \frac{-42 \pm \sqrt{1764 + 6084}}{6} = \frac{-42 \pm \sqrt{7848}}{6}.
\]

Tính tiếp:
\[
\sqrt{7848} \approx 88.5 \Rightarrow x \approx \frac{-42 \pm 88.5}{6}.
\]
Ta có 2 nghiệm:
\[
x_1 \approx \frac{46.5}{6} \text{ và } x_2 \approx \frac{-130.5}{6}.
\]

Sau khi tính toán, ta thu được nghiệm phù hợp với bài toán:
\[
x = 7.75 \text{ hoặc } x \text{ không hợp lý (âm)}.
\]

Kết luận là nghiệm của bài toán là:
\[
\boxed{7.75}
\]