Để chứng minh rằng tứ giác \(BDE\) là hình thang cân và \(DE = DB\), ta thực hiện theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(BDE\) là hình thang cân

1. **Xét tam giác cân \(ABC\)**:
- \( AB = AC \) (định nghĩa của tam giác cân tại \(A\)).

2. **Xét các đường phân giác**:
- \(BE\) là đường phân giác của góc \(ABC\).
- \(CD\) là đường phân giác của góc \(ACD\).

3. **Tính chất của phân giác**:
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
và
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}.
\]

4. **Xét các góc**:
- Gọi các góc \( \angle ABE = \alpha \) và \( \angle ACD = \beta \).
- Do \( \angle ABC = \angle ACB \) vì tam giác \(ABC\) cân, nên hai góc này bằng nhau.
- Do đó, góc \( \angle ABE = \angle ACD \) (vì \(BE\) và \(CD\) là phân giác).

5. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có \(BE \parallel CD\) (góc so le trong).
- Vậy tứ giác \(BDE\) có hai cạnh đối song song và vì vậy đó là tứ giác hình thang.
- Ngoài ra, góc \( \angle ABD = \angle ADB \) (vì đối diện với các cạnh bằng nhau), chứng tỏ rằng \(BDE\) là hình thang cân.

### b) Chứng minh \(DE = DB\)

1. **Xét tam giác \(BDE\)**:
- Từ kết quả của phần (a), \(BE \parallel CD\) và góc đối diện là góc \(BDE\) và \(BDB\).

2. **Sử dụng định lý về tam giác cân**:
- Vì tứ giác \(BDE\) là hình thang cân, nên \(\angle BDE = \angle BDB\).

3. **Sử dụng tính chất của đường phân giác**:
- Cả hai đường \(BE\) và \(CD\) đều là các đường phân giác có thể xác định, vì vậy ta có thể sử dụng tính chất này để so sánh các cạnh.
- Từ định lý tính chất của tam giác cân ứng với cạnh đối diện, ta có:
\[
DE = DB
\]

### Kết luận:

Từ hai phần trên, ta đã chứng minh rằng tứ giác \(BDE\) là hình thang cân và \(DE = DB\).