Để rút gọn biểu thức \( A = 1 + 2 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^5 \), trước tiên chúng ta có thể nhìn nhận nó như một tổng hạng.

Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:
\[ A = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 \]

Đây là một tổng số hạng với số hạng đầu là \( 1 \) và số hạng thứ hai là \( 2^1 \) (hay \( 2 \)) và đến số hạng là \( 2^5 \).

Tổng mô tả trên có thể được tính theo công thức tổng của một cấp số nhân (đối với các hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^5 \)):
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 2^1 = 2 \) (số hạng đầu tiên).
- \( r = 2 \) (tỉ lệ).
- \( n = 5 \) (số hạng của cấp số nhân từ \( 2^1 \) đến \( 2^5 \)).

Áp dụng vào công thức:
\[
S = 2 \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 2 \cdot (32 - 1) = 2 \cdot 31 = 62
\]

Bây giờ, cộng thêm \( 1 \) từ hạng đầu của \( A \):
\[
A = 1 + 62 = 63
\]

Vậy cuối cùng, kết quả rút gọn của biểu thức là:
\[
A = 63
\]