Trong tam giác ABC vuông tại A, với A, B, C thuộc đường tròn tâm O, ta có thể chứng minh các yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh OA song song a

1. Từ điều kiện đề bài, ta biết rằng OA là bán kính của đường tròn tâm O và đi qua điểm A.
2. Đoạn thẳng a là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
OA \perp a \quad (\text{tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc})
\]
3. Do hiểu rằng OA vuông góc với a, và nếu ta kéo dài OA theo hướng ngược lại, ta cũng sẽ thấy rằng OA và a không cắt nhau.
4. Từ đó, ta có thể kết luận rằng OA song song với a.

### b) Chứng minh BC là đường trung trực của MN

1. **Kẻ Ox // AC và Oy // AB**:
- Theo điều kiện đề bài, kẻ hai tia Ox và Oy song song với AC và AB, tương ứng.
- Hai tia này cắt đoạn thẳng a (tiếp tuyến tại B) tại hai điểm M và N.

2. **Chứng minh BC là đường trung trực của MN**:
- Vì B là điểm thuộc đường tròn, và M, N là các điểm cắt của hai đường song song với cạnh AC và AB, ta biết rằng:
\[
MB = BN \quad (\text{tính chất của hai đường chéo trong hình chữ nhật})
\]
- Từ tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng BC cắt đoạn MN, chia đoạn MN thành hai phần bằng nhau tại điểm H (là trung điểm của MN).
- Theo định nghĩa, một đường trung trực của đoạn thẳng MN là đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với MN.
- Ta có:
\[
BC \perp MN \quad (\text{bởi vì BC là cạnh của tam giác vuông ABC})
\]
- Do đó, ta có thể kết luận rằng BC chính là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

### Tổng kết

Ta đã chứng minh rằng OA song song với a và BC là đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng việc áp dụng các định lý hình học và tính chất của các điểm, đường thẳng trong tam giác vuông đều.