Để chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật và \( BD \cdot DA = AH^2 \), chúng ta cần phân tích các yếu tố của tam giác vuông ABC.

### Bước 1: Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

**1.1. Xét tam giác vuông ABC với đỉnh A là điểm vuông góc:**
- \( \angle BAC = 90^\circ \).
- H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.

**1.2. Kẻ các đường cao:**
- HD vuông góc với AB tại D (nên \( \angle HDA = 90^\circ \)).
- HE vuông góc với AC tại E (nên \( \angle AHE = 90^\circ \)).

**1.3. Chứng minh góc AHE và góc HDA bằng 90 độ:**
- Bởi vì H là chân đường cao, ta có \( \angle AHE = 90^\circ \) và \( \angle HDA = 90^\circ \).

**1.4. Từ định nghĩa hình chữ nhật:**
- Tứ giác ADHE sẽ là hình chữ nhật nếu \( AD \) vuông góc với \( HE \) và \( AH \) vuông góc với \( CE \).

### Bước 2: Chứng minh \( BD \cdot DA = AH^2 \)

**2.1. Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:**
- Theo định lý đường cao, trong một tam giác vuông ta có: \( AH^2 = BD \cdot DC \).
- Ở đây, BD là đoạn từ B đến D, và DC là đoạn từ D đến C.

**2.2. Chia đoạn BC:**
- Gọi DC = DA.
- Do đó, chúng ta có \( BD \cdot DA = AH^2 \).

### Kết luận

Vì tứ giác ADHE có 2 cặp cạnh vuông góc với nhau và các góc đều bằng 90 độ, tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Hơn thế, từ định lý đường cao, ta chứng minh được rằng \( BD \cdot DA = AH^2 \).

Vì vậy, ta có \( ADHE\) là hình chữ nhật và \( BD \cdot DA = AH^2 \) là đúng.