Để so sánh biểu thức \( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \) với 1 khi \( a, b, c \) là các số nguyên dương, ta có thể thực hiện như sau:

Đầu tiên, ta sẽ tính tổng của ba phân thức:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}
\]

Để đơn giản hóa, ta sẽ quy đổi các phân thức này về cùng một mẫu số. Mẫu số chung của ba phân thức này là \( (a+b)(b+c)(c+a) \).

Tuy nhiên, thay vì thực hiện tính toán để tìm sự so sánh, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để giúp việc so sánh đơn giản hơn.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \right) \left( (a+b) + (b+c) + (c+a) \right) \geq (a+b+c)^2
\]

Mẫu số \( (a+b) + (b+c) + (c+a) = 2(a+b+c) \).

Do đó, ta có:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}
\]

Vì \( a, b, c \) là số nguyên dương nên \( a+b+c \) luôn lớn hơn 0. Do đó:

\[
\frac{a+b+c}{2} > 0
\]

Vì vậy, để so sánh với 1, ta cần xem \( \frac{a+b+c}{2} \) so với 1:

Nếu \( a + b + c \geq 2 \), thì:

\[
\frac{a+b+c}{2} \geq 1
\]

Ngược lại, nếu \( a + b + c < 2 \), không thể xảy ra vì \( a, b, c \) đều là số nguyên dương (giá trị nhỏ nhất của mỗi số nguyên dương là 1). Do vậy \( a + b + c \) ít nhất là 3.

Như vậy, biểu thức:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq 1
\]

Cuối cùng, ta có kết luận:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq 1
\]

Vì vậy, với mọi số nguyên dương \( a, b, c \), ta luôn có:

\[
\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} \geq 1
\]