Để chứng minh \(\Delta ABD \cong \Delta ACE\) trong tam giác cân \(ABC\) với \(A < 90^\circ\) và các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACE\)**:
- Ta biết rằng \(AB = AC\) (đặc tính của tam giác cân).
- Do \(BD\) và \(CE\) là các đường cao, ta có \(BD \perp AC\) và \(CE \perp AB\).
- Từ đó, góc \(ABD = \angle ACE\) (2 góc vuông).
- Ta có:
- \(AB = AC\)
- \(AD = AE\) (khoảng cách từ đỉnh đến chân đường cao trên 1 cạnh).
- \(\angle ABD = \angle ACE\) (góc vuông).
- Suy ra \(\Delta ABD \cong \Delta ACE\) theo tiêu chuẩn \(C^A\).

2. **Tam giác \(BHC\) là tam giác gì? Vì sao?**:
- \(H\) là giao điểm của các đường cao \(BD\) và \(CE\) trong tam giác \(ABC\).
- Do đó, tam giác \(BHC\) là tam giác vuông tại \(H\).

3. **So sánh đoạn \(HB\) và \(HD\)**:
- Trong tam giác vuông \(BHC\), ta có \(HB\) và \(HD\) là hai đoạn thẳng từ \(H\) đến các cạnh của tam giác \(ABC\).
- Thông qua định lý Pythagore, có thể thấy rằng độ dài các đoạn \(HB\) và \(HD\) sẽ phụ thuộc vào chiều cao từ \(H\) đến các cạnh \(AC\) và \(AB\).

4. **Chứng minh các đường thẳng \(BN\), \(AH\), \(CM\) đồng quy**:
- Giả sử rằng \(N\) và \(M\) được chọn như trong đề bài.
- Khi đó, \(BN\) và \(CM\) sẽ cắt nhau tại \(H\), do \(H\) là điểm giao nhau của các đường cao.
- Sử dụng tính chất đồng quy của các đường cao trong tam giác, ta có thể chứng minh rằng \(BN\), \(AH\), và \(CM\) đồng quy tại \(H\).

Kết luận, ta đã chứng minh được các mệnh đề trong bài toán theo yêu cầu.