Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện như sau:

### a) Tính \( OH \)

1. **Gọi các thông tin đã cho**:
- Đường tròn có tâm \( O \) và bán kính \( R = 5 \) cm.
- Dây cung \( AB \) có độ dài \( AB = 6 \) cm.

2. **Tính bán kính hình thành tam giác \( OHA \)**:
- \( OA = OB = R = 5 \) cm.
- \( AB = 6 \) cm.

3. **Áp dụng định lý Pitago**:
- Tam giác \( OHA \) vuông tại \( H \).
- Sử dụng công thức:
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2
\]
- Để tính \( AH \), chúng ta biết:
\[
AB = 2 \cdot AH \implies AH = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
\]

4. **Tính \( OH \)**:
\[
5^2 = OH^2 + 3^2 \implies 25 = OH^2 + 9 \implies OH^2 = 25 - 9 = 16 \implies OH = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \)

1. **Tia \( OH \) cắt đường tròn tại \( M \)**:
- Vì \( OH \) là tia vuông góc với \( AB \) tại \( H \), nên tia này sẽ cắt đường tròn tại một điểm \( M \).

2. **Chứng minh \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \)**:
- Theo định lý về góc nội tiếp, góc \( AOB \) sẽ bằng hai lần góc \( AHM \) (hay \( BHM \)).
- Vì \( H \) là điểm chính giữa của \( AB \), và \( M \) là điểm cắt trên đường tròn, ta có:
\[
\angle AOM = \angle BOM \text{ và } AH = BH
\]
- Điều này cho thấy \( M \) chính là điểm chính giữa của cung \( AB \).

Kết luận: \( OH = 4 \) cm và \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \).