Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( \frac{x - 3}{x + 4} \) là một số nguyên, ta cần điều kiện rằng \( x + 4 \) phải khác 0 (tức là \( x \neq -4 \)) và \( x - 3 \) phải chia hết cho \( x + 4 \).

Giả sử \( \frac{x - 3}{x + 4} = k \) với \( k \) là một số nguyên. Khi đó, ta có:

\[
x - 3 = k(x + 4)
\]

Rút gọn biểu thức trên:

\[
x - 3 = kx + 4k
\]

\[
x - kx = 4k + 3
\]

\[
x(1 - k) = 4k + 3
\]

\[
x = \frac{4k + 3}{1 - k}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, thì \( 4k + 3 \) phải chia hết cho \( 1 - k \). Ta sẽ xem xét một số giá trị nguyên của \( k \):

- **Nếu \( k = 0 \)**:
\[
x = \frac{4 \times 0 + 3}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3
\]

- **Nếu \( k = 1 \)**:
\[
x = \frac{4 \times 1 + 3}{1 - 1} \text{ (không xác định vì chia cho 0)}
\]

- **Nếu \( k = -1 \)**:
\[
x = \frac{4 \times (-1) + 3}{1 - (-1)} = \frac{-4 + 3}{1 + 1} = \frac{-1}{2} \text{ (không nguyên)}
\]

- **Nếu \( k = 2 \)**:
\[
x = \frac{4 \times 2 + 3}{1 - 2} = \frac{8 + 3}{-1} = \frac{11}{-1} = -11
\]

- **Nếu \( k = -2 \)**:
\[
x = \frac{4 \times (-2) + 3}{1 - (-2)} = \frac{-8 + 3}{1 + 2} = \frac{-5}{3} \text{ (không nguyên)}
\]

Tiếp tục như vậy, ta có thể thử các giá trị khác cho \( k \) và tìm các giá trị nguyên tương ứng cho \( x \).

**Tóm lại**, các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên sẽ là:
- \( x = 3 \)
- \( x = -11 \)

Để tìm ra thêm các giá trị khác, bạn có thể thử nghiệm nhiều giá trị hơn cho \( k \) và áp dụng cùng một phương pháp!