Dựng điểm m trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc MOx = alpha

Để dựng điểm \( M \) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \( \angle MOx = \alpha \) với các điều kiện cho trước, ta có hai trường hợp để xem xét.

### a) Trường hợp \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \)

1. **Xác định cos α**:
Sử dụng định lý sin, ta áp dụng công thức:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Thay \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \):
\[
\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]
\[
\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

2. **Chọn tọa độ điểm M**:
Nếu \( M \) là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị (với bán kính = 1), thì tọa độ của \( M \) sẽ là:
\[
M = \left( \cos \alpha, \sin \alpha \right) = \left( \pm \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right)
\]
Với \( \alpha \) nằm trong góc từ 0 đến 180 độ (nửa đường tròn trên trục Ox), ta sẽ giữ lại nghiệm dương cho cos α:
\[
M = \left( \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right)
\]

### b) Trường hợp \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \)

1. **Xác định sin α và cos α**:
Từ định nghĩa tangent, ta có:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Gọi \( \sin \alpha = -3k \) và \( \cos \alpha = 4k \) với \( k \) là một hằng số. Thay vào công thức:
\[
(-3k)^2 + (4k)^2 = 1
\]
\[
9k^2 + 16k^2 = 1
\]
\[
25k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{25} \implies k = \frac{1}{5}
\]

Do đó:
\[
\sin \alpha = -\frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}
\]

2. **Chọn tọa độ điểm M**:
Với \( M = (\cos \alpha, \sin \alpha) \):
\[
M = \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)
\]

### Kết luận:
- Với \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \), điểm \( M \) tọa độ là \( \left( \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right) \).
- Với \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \), điểm \( M \) tọa độ là \( \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right) \).