Dựng điểm m trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc mox= alpha, biết rằng

Để dựng điểm \( M \) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc \( MOX = \alpha \), ta cần tìm tọa độ của điểm \( M \) dựa trên giá trị của \( \alpha \).

### a) Khi \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \)

Dựa vào mối quan hệ giữa các hàm lượng giác, ta có:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Trong trường hợp này, ta có:

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]

Vậy thì:

\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

Vì \( M \) nằm trên nửa đường tròn đơn vị (trong trường hợp này là nửa trên), chúng ta chọn \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Tọa độ của điểm \( M \) sẽ là:

\[
M\left( \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right)
\]

### b) Khi \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \)

Ta biết rằng:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Từ \( \tan \alpha = -\frac{3}{4} \), có thể viết dưới dạng:

\[
\sin \alpha = -3k, \quad \cos \alpha = 4k
\]

Để có thể sử dụng điều kiện \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[
(-3k)^2 + (4k)^2 = 1 \\
9k^2 + 16k^2 = 1 \\
25k^2 = 1 \\
k^2 = \frac{1}{25} \\
k = \frac{1}{5} \quad \text{(do k > 0)}
\]

Từ đó ta có:

\[
\sin \alpha = -3 \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5} \\
\cos \alpha = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
\]

Do \( M \) thuộc nửa đường tròn đơn vị trên, nên hoành độ và tung độ của \( M \) sẽ là:

\[
M\left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)
\]

### Kết luận:

- Đối với \( a) \): \( M\left( \frac{\sqrt{15}}{4}, \frac{1}{4} \right) \)
- Đối với \( b) \): \( M\left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right) \)