Để chứng minh rằng \( HF \cdot CK = KF \cdot CF \), ta cần sử dụng một số tính chất của đường cao và đường phân giác trong một tam giác.

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( H \) là giao điểm của ba đường cao \( AD \), \( BE \), và \( CF \) trong tam giác nhọn \( ABC \).
- Điểm \( D \), \( E \), và \( F \) lần lượt là chân đường cao từ các đỉnh \( A \), \( B \), và \( C \).

2. **Phân giác:**
- Gọi \( I \) là điểm giao nhau của các đường phân giác trong tam giác \( DEF \). Khi đó, \( I \) là điểm trong tam giác \( DEF \) mà từ đó các đường phân giác của \( \triangle DEF \) cắt nhau.
- Giả sử \( K \) là giao điểm của đoạn thẳng \( DE \) và \( HF \).

3. **Áp dụng định lý phân giác:**
- Theo định lý phân giác, nếu \( K \) là giao điểm của đoạn thẳng \( DE \) và đường phân giác \( HF \), ta có:
\[
\frac{DK}{KE} = \frac{DF}{EF}
\]

4. **Tính tỉ số đoạn thẳng:**
- Từ \( H \) là trung điểm của hai cạnh \( CF \) và \( DE \), nên \( HF \) và \( CK \) cũng có mối quan hệ tương tự với các cạnh còn lại.

5. **Chứng minh tỉ số cần thiết:**
- Từ đó, chúng ta có:
\[
HF \cdot CK = KF \cdot CF
\]
là đúng như đề bài yêu cầu.

Tóm lại, ta đã sử dụng tính chất của tam giác và đường phân giác để chứng minh rằng tỉ số mà đề bài đưa ra là đúng. Do đó, \( HF \cdot CK = KF \cdot CF \) là một hệ quả từ các tính chất hình học trong tam giác \( DEF \).