Cho tam giác ABC vuông cân tại A có ba đỉnh A B C thuộc đường tròn tâm O. Qua B, kẻ tiếp tuyến a với đường tròn tâm O

Để chứng minh bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện lần lượt từng yêu cầu.

### a) Chứng minh OA song song với a

Đầu tiên, ta biết rằng tam giác ABC vuông cân tại A, tức là \(AB = AC\), và các đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn có tâm O và bán kính r.

Khi kẻ tiếp tuyến a qua điểm B, theo định nghĩa về tiếp tuyến, ta có:

\[
OA \perp a
\]

Bởi vì OA nối tâm O đến điểm A trên đường tròn, và tiếp tuyến a tại điểm B phải vuông góc với đoạn thẳng OB (đoạn nối tâm O đến điểm B trên đường tròn).

Do đó, từ tính chất của tiếp tuyến, ta suy ra:

\[
OA \parallel a
\]

### b) Chứng minh BC là đường trung trực của MN

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các đường thẳng Ox và Oy, với Ox // AC, Oy // AB. Tia Ox và Oy sẽ cắt tiếp tuyến a tại hai điểm M và N tương ứng.

Vì Ox // AC và Oy // AB, ta có một số tính chất hình học sau:

- Từ tính chất của tam giác vuông cân ABC, ta có \(AB = AC\).
- Hai đoạn thẳng Ox và Oy đều song song với cạnh của tam giác vuông cân, do đó góc OMB = góc OAN và góc ONA = góc OMB.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng điểm B nằm trên đường trung trực của đoạn MN.

1. **Tính chất đối xứng**: Vì BC vuông góc với OA (và do OA song song với a), nên BC sẽ chia đoạn MN thành hai đoạn bằng nhau khi kéo dài BC. Ta có:

\[
BM = BN
\]

Điều này xảy ra bởi vì điểm B nằm trên đường thẳng nối các điểm M và N, và BC cắt đoạn MN tại điểm B theo chiều dọc (do BC vuông góc với OA).

2. **Tính chất trung trực**: Do \(BM = BN\) và BA = BA (đoạn nối B đến bản thân nó vẫn bằng chính nó), ta có:

\[
\text{BC là đường trung trực của đoạn MN.}
\]

Do đó, ta đã chứng minh xong điều kiện rằng BC là đường trung trực của MN.

### Kết luận

- \( OA \parallel a \)
- \( BC \) là đường trung trực của đoạn \( MN \).

Chứng minh xong bài toán.