Để chứng minh \( AD \parallel BC \) trong tam giác \( \triangle ABC \) với \( \angle B = \angle C = 40^\circ \) và \( AD \) là tia phân giác góc ngoài tại \( A \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các góc trong tam giác**:
- Tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \). Do đó:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]
- Thay giá trị:
\[
\angle A + 40^\circ + 40^\circ = 180^\circ \implies \angle A = 100^\circ
\]

2. **Tính góc phụ**:
- \( AD \) là tia phân giác góc ngoài tại \( A \), do đó:
\[
\angle DAB = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ
\]
- Có:
\[
\angle DAB + \angle ABC = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ
\]
- Tương tự, ta có:
\[
\angle DAC + \angle ACB = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ
\]

3. **Áp dụng định lý góc ngoài**:
- Theo định lý về góc ngoài của tam giác, ta có:
- \( \angle DAB + \angle ABC = 90^\circ \) và \( \angle DAC + \angle ACB = 90^\circ \).

4. **Kết luận**:
- Vì \( AD \) cắt \( BC \) tại \( A \) tạo ra các góc đồng vị \( \angle DAB \) và \( \angle ABC \) bằng nhau, và \( \angle DAC \) và \( \angle ACB \) cũng bằng nhau, nên theo tiêu chuẩn của định lý hai đường thẳng song song, ta có:
\[
AD \parallel BC
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AD \parallel BC \).