Để giải phương trình nghiệm nguyên:

\[
x^2 + y^2 + 3xy = x^2y^2,
\]

ta có thể chuyển đổi phương trình về dạng khác. Đầu tiên, ta đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
x^2y^2 - 3xy - (x^2 + y^2) = 0.
\]

Từ phương trình này, ta có thể xem nó như một phương trình bậc hai theo \( xy \):

\[
x^2 y^2 - 3xy - x^2 - y^2 = 0.
\]

Để giải phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp thay thế. Giả sử \( t = xy \), ta có:

\[
t^2 - 3t - (x^2 + y^2) = 0.
\]

Để tiếp tục, ta có thể áp dụng định lý Viète cho nghiệm của phương trình bậc hai. Dựa trên tính chất cầu, xét một vài trường hợp cho \( x \) và \( y \) là các số nguyên, ta có thể thử với một số nhỏ và tìm cách tìm tất cả các nghiệm nguyên.

### Thử nghiệm với các giá trị cụ thể:

1. **Khi \( x = 0 \)**:
\[
0 + y^2 + 0 = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0.
\]
Giải nghiệm cho nghiệm nguyên: \( (0, 0) \).

2. **Khi \( y = 0 \)**:
\[
x^2 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0.
\]
Giải nghiệm cho nghiệm nguyên: \( (0, 0) \).

3. **Thử với \( x = 1 \)** và nghiệm bằng cách thay vào phương trình:
\[
1 + y^2 + 3y = 1y^2 \Rightarrow 1 + y^2 + 3y = y^2 \Rightarrow 1 + 3y = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}.
\]
Không là nghiệm nguyên.

4. **Tiếp tục với các giá trị khác**:
- Thử với các số nguyên dương và âm khác cho \( x \) và \( y \) sẽ giúp tìm ra các nghiệm khác.

**Nghiệm nguyên có thể có**:
1. Nghiệm \( (0, 0) \) là nghiệm duy nhất phù hợp.

Sau khi kiểm tra vài giá trị và không tìm ra thêm nghiệm nguyên nào khác, ta có thể kết luận:

### Kết luận:

Nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là:

\[
(x, y) = (0, 0).
\]