Để chứng minh bất đẳng thức \( EF < BC \) trong tam giác \( ABC \) có hai đường cao \( BE \) và \( CF \), ta có thể sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và các đường cao.

1. **Đặt điểm và kí hiệu**:
- Gọi \( D \) là giao điểm của đường cao \( BE \) và \( CF \).
- Gọi \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \).
- Gọi \( EF = d \) là đoạn thẳng nối hai điểm \( E \) và \( F \).

2. **Tính chất góc và cạnh**:
- Trong tam giác \( ABC \), đường cao \( BE \) vuông góc với cạnh \( AC \) và đường cao \( CF \) vuông góc với cạnh \( AB \).
- Do đó, \( \angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \).

3. **Sử dụng bất đẳng thức tam giác**:
- Ta có thể sử dụng định lý về độ dài đoạn thẳng trong tam giác. Theo đó, độ dài đoạn thẳng nối các chân đường cao sẽ nhỏ hơn độ dài cạnh đối diện. Cụ thể, ta có:
\[
EF < AB + AC
\]

4. **Sử dụng định lý Pythagoras**:
- Cạnh \( BC \) cũng sẽ lớn hơn tổng chiều cao từ các điểm khác lên cạnh \( BC \), dẫn đến:
\[
BC > EF
\]
- Đường thẳng \( EF \) sẽ nằm trong khoảng từ các đỉnh \( E \) và \( F \) và thấp hơn độ dài của cạnh \( BC \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, từ các tính chất vừa chứng minh, ta có điều cần chứng minh là \( EF < BC \).

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng trong tam giác \( ABC \), đoạn thẳng \( EF \) nối hai chân đường cao \( BE \) và \( CF \) sẽ nhỏ hơn cạnh \( BC \).

Vì vậy, ta có:
\[
EF < BC
\]