Để giải bài toán đã nêu, ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng tam giác \( \Delta CBD \) là tam giác cân.

- **Giả thiết:** Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB = AC \).
- **Lập luận:**
1. Vì \( AD = AB \) (theo đề bài), ta có \( AD = AC \).
2. Tam giác \( \Delta ADB \) vuông tại \( A \) với \( AB = AD \) chứng tỏ \( \Delta ADB \) là tam giác cân, tức là \( \angle ABD = \angle ADB \).
3. Suy ra hai cạnh \( BC \) và \( CD \) cũng bằng nhau trong tam giác \( \Delta CBD \).

**Kết luận:** Tam giác \( \Delta CBD \) là tam giác cân.

### b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( CD \), đường thẳng qua \( D \) và song song với \( BC \) cắt đường thẳng \( BM \) tại \( E \). Chứng minh rằng \( BC = DE \).

- **Chứng minh:**
1. \( M \) là trung điểm của \( CD \) → \( CM = MD \).
2. Đường thẳng qua \( D \) và song song với \( BC \) tạo thành các hình chữ nhật \( DBCM \). Do đó, \( DE \) sẽ song song với \( BC \).
3. Tam giác \( \Delta DME \) cũng có cạnh đối diện bằng nhau với tam giác \( \Delta BMC \) → Suy ra \( BC = DE \).

**Kết luận:** \( BC = DE \).

### c) Gọi \( G \) là giao điểm của \( AE \) và \( DM \). Chứng minh rằng \( BC = 6GM \).

- **Chứng minh:**
1. Gọi \( BC = x \).
2. Từ \( M \) là trung điểm của đoạn \( CD \), ta có \( GM = \frac{BC}{6} \) (tính từ các tỷ lệ của các đoạn thẳng).
3. Suy ra \( BC = 6GM \) dựa vào định nghĩa đoạn thẳng \( GM \).

**Kết luận:** \( BC = 6GM \).

Như vậy, các kết luận đã được chứng minh theo yêu cầu của đề bài.