Để chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc BAC trong bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Sử dụng tính chất tam giác vuông**:
- Tam giác ABC vuông tại A, với M là trung điểm của cạnh BC, do đó \( BM = MC \).

2. **Áp dụng định lý Pytago**:
- Ta có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

3. **Xét góc A**:
- Gọi D là điểm đối xứng của M qua A, tức là \( MD = MA \). Khi đó, AD là đường thẳng đi qua M và cắt AC tại D.

4. **Chứng minh \( \triangle AMD \) là tam giác cân**:
- Vì \( MD = MA \) và \( AM \) là chung, ta có \( AD = AM = MD \).

5. **Góc ACD**:
- Xét tam giác ACD. Ta thấy rằng góc ACD là góc đối diện với cạnh AC trong tam giác vuông tại A, và do đó \( AC \bot CD \).
- Vì vậy, ta có \( \angle ACD = 90^\circ \).

6. **Chứng minh AM là tia phân giác**:
- Ta áp dụng định lý về tia phân giác trong tam giác. Do AM chia góc BAC thành hai góc bằng nhau, ta có \( \angle BAM = \angle CAM \).
- Ngoài ra, vì AM là đối xứng qua M và MD = MA nên angles sẽ được chia đều.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng AM là tia phân giác của góc BAC dựa trên các bước trên.