Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 1 \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số

**Bước 1: Tính đạo hàm**
Hàm số có dạng:
\[ y = -x^3 + 3x^2 + 1 \]

Tính đạo hàm:
\[ y' = -3x^2 + 6x \]
\[ y' = 3x(2 - x) \]

**Bước 2: Tìm các điểm cực trị**
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):
\[ 3x(2 - x) = 0 \]
Giải ra được:
- \( x = 0 \)
- \( x = 2 \)

**Bước 3: Phân tích dấu của đạo hàm**
Ta kiểm tra dấu của \( y' \) trên các khoảng:
- Khi \( x < 0 \): \( y' > 0 \) (hàm tăng)
- Khi \( 0 < x < 2 \): \( y' > 0 \) (hàm tăng)
- Khi \( x = 2 \): \( y' = 0 \)
- Khi \( x > 2 \): \( y' < 0 \) (hàm giảm)

**Bước 4: Tìm giá trị của hàm tại các điểm cực trị**
Tính giá trị hàm tại các điểm:
- \( y(0) = 1 \)
- \( y(2) = -8 + 12 + 1 = 5 \)

**Bước 5: Bạn có thể đặt các điểm cực trị**
- Cực tiểu tại \( (0, 1) \)
- Cực đại tại \( (2, 5) \)

### 2. Vẽ đồ thị (C)

- Hàm số có dạng đi từ âm vô cùng, tăng lên tới cực đại \( (2, 5) \), sau đó giảm xuống tới âm vô cùng.
- Các điểm quan trọng: \( (0, 1) \) là cực tiểu, và \( (2, 5) \) là cực đại.

### 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \( A(3; 1) \)

**Bước 1: Tính đạo hàm tại điểm**
Tính giá trị đạo hàm tại \( x = 3 \):
\[ y'(3) = 3(3)(2 - 3) = 3(3)(-1) = -9 \]

**Bước 2: Sử dụng công thức tiếp tuyến**
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( A(3, 1) \):
\[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \]
Điểm \( A(3, 1) \) và \( y'(3) = -9 \):
\[ y - 1 = -9(x - 3) \]
Dễ dàng chuyển đổi thành:
\[ y = -9x + 27 + 1 \]
\[ y = -9x + 28 \]

### Kết luận
1. Đồ thị hàm số có một cực đại tại \( (2, 5) \) và một cực tiểu tại \( (0, 1) \).
2. Phương trình tiếp tuyến tại \( A(3, 1) \) là \( y = -9x + 28 \).