Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 + 5y^2 + 2xy - 2y + 2024 \), chúng ta sẽ phân tích biểu thức này theo biến \( x \) và \( y \).

Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng biểu thức \( x^2 + 2xy + 5y^2 - 2y \) là một bậc hai theo \( x \) và \( y \). Để làm điều này, chúng ta có thể viết lại phần không có hằng số theo dạng ma trận:

Đầu tiên, ta viết lại A mà không có hằng số:
\[
A = x^2 + (2y)x + (5y^2 - 2y) + 2024
\]

Ta xem \( A \) như hàm số bậc hai đối với \( x \) trong dạng:
\[
A = (x^2 + (2y)x + (5y^2 - 2y + 2024))
\]
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) theo \( x \), ta tính đạo hàm của \( A \) theo \( x \) và đặt bằng 0:
\[
\frac{\partial A}{\partial x} = 2x + 2y = 0 \implies x = -y
\]

Bây giờ thay giá trị \( x = -y \) vào biểu thức \( A \) để tìm giá trị nhỏ nhất theo \( y \):
\[
A = (-y)^2 + 5y^2 + 2(-y)y - 2y + 2024
\]
\[
= y^2 + 5y^2 - 2y^2 - 2y + 2024
\]
\[
= 4y^2 - 2y + 2024
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai này theo \( y \), ta dùng công thức tìm giá trị nhỏ nhất:
\[
y_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}
\]

Thay \( y = \frac{1}{4} \) vào biểu thức \( A \):
\[
A = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) + 2024
\]
\[
= 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{2}{4} + 2024
\]
\[
= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2024
\]
\[
= \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 2024
\]
\[
= -\frac{1}{4} + 2024
\]
\[
= 2024 - 0.25 = 2023.75
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{2023.75}
\]