Để chứng minh rằng △ABD = △EBD, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các yếu tố đã cho.

### a) Chứng minh: △ABD = △EBD

1. **Giả thuyết**: Ta có tam giác vuông ABC tại A. Kẻ đường phân giác BD của góc B và D thuộc AC. Ta có điểm E trên BC sao cho BA = BE.

2. **Tam giác ABD và tam giác EBD**:
- **Cạnh**: Có BD chung.
- **Cạnh**: BA = BE theo giả thuyết.
- **Góc**: ∠ABD = ∠EBD do BD là phân giác của góc B.

Từ đó, chúng ta có hai tam giác có hai cạnh và một góc tương ứng, suy ra:
\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD
\]

### b) Chứng minh: AE ⊥ BD

1. **Chứng minh**: Ta có ∠ABD = ∠EBD, do BD là phân giác.
2. **Tính chất**: Trong tam giác vuông, góc vuông ở A, AE sẽ vuông góc với BD nếu AE song song với AC (trong trường hợp này AE sẽ cắt BD tại một điểm tạo thành góc vuông).

### c) So sánh: AD và DC

1. **Tính chất của phân giác**: Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DC}
\]
Đặc biệt, vì AB = BE, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{DC}
\]
Từ đó, suy ra AD = DC do tính chất của đoạn phân giác và sự đồng dạng giữa các tam giác.

Như vậy, ta có thể khẳng định:
\[
AD = DC
\]

Tổng kết: Chúng ta đã chứng minh rằng △ABD = △EBD, AE ⊥ BD và AD = DC.