Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1
\end{cases}
\]

Chúng ta đặt:

\[
a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}
\]

Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a + b = 5 \\
a - b = 1
\end{cases}
\]

Bây giờ, chúng ta có thể giải hệ này:

1. Cộng hai phương trình lại:

\[
(a + b) + (a - b) = 5 + 1 \implies 2a = 6 \implies a = 3
\]

2. Thay giá trị \(a\) vào phương trình thứ nhất:

\[
3 + b = 5 \implies b = 2
\]

Vậy, chúng ta có:

\[
a = 3 \quad \text{và} \quad b = 2
\]

Trở lại với \(x\) và \(y\):

\[
\frac{1}{x} = 3 \implies x = \frac{1}{3}
\]
\[
\frac{1}{y} = 2 \implies y = \frac{1}{2}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
(x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)
\]