Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Rút gọn \( M \)

Biểu thức được cho là:

\[
M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \div (x - 2\sqrt{x}) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{x - 4} \right)
\]

Bước đầu tiên là rút gọn từng phần của biểu thức.

1. **Rút gọn phần chia**:
\[
A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \div (x - 2\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(x - 2\sqrt{x})}
\]

2. **Rút gọn phần cộng**:
\[
B = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{x - 4}
\]

Tìm mẫu chung để rút gọn \( B \).

### b) Tìm giới hạn của \( x \) để \( M > 0 \)

Để tìm điều kiện \( M > 0 \), ta cần xét dấu của từng phần tử trong biểu thức \( M \):

- Tìm các giá trị của \( x \) để các biểu thức trong mẫu không bằng 0.
- Đặt điều kiện cho từng phần trước khi xét dấu.

### c) Tính giá trị của \( M \) khi \( x = 4 + 2\sqrt{3} \)

Thay \( x = 4 + 2\sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị của \( M \).

Nếu cần hướng dẫn chi tiết cho từng phần, hãy cho biết!