Để tính diện tích của tam giác, trước tiên chúng ta cần tìm độ dài ba cạnh của tam giác dựa vào chu vi và tỷ lệ của ba đường cao.

### Tiến trình giải:

1. **Tỷ lệ đường cao**: Giả sử độ dài ba đường cao lần lượt là \( h_1, h_2, h_3 \). Ta có:
\[
h_1 : h_2 : h_3 = 3 : 4 : 5
\]
Gọi \( h_1 = 3k, h_2 = 4k, h_3 = 5k \).

2. **Tính chiều cao**: Từ công thức liên quan mối quan hệ giữa diện tích tam giác, độ dài các cạnh và độ dài đường cao, ta có:
\[
S = \frac{1}{2} a_1 h_1 = \frac{1}{2} a_2 h_2 = \frac{1}{2} a_3 h_3
\]
Với \( a_1, a_2, a_3 \) lần lượt là độ dài ba cạnh.

3. **Tính độ dài các cạnh**: Vì \( h_1, h_2, h_3 \) tỉ lệ nghịch với các cạnh, ta có:
\[
a_1 : a_2 : a_3 = \frac{1}{h_1} : \frac{1}{h_2} : \frac{1}{h_3} = \frac{1}{3k} : \frac{1}{4k} : \frac{1}{5k} = 20 : 15 : 12
\]
Gọi \( a_1 = 20m, a_2 = 15m, a_3 = 12m \).

4. **Tính chu vi**:
\[
a_1 + a_2 + a_3 = 20m + 15m + 12m = 47m
\]
Ta biết chu vi bằng 36 cm:
\[
47m = 36 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{36}{47}
\]

5. **Tính diện tích**: Tính toán độ dài các cạnh:
\[
a_1 = 20m = 20 \cdot \frac{36}{47} = \frac{720}{47} \, (cm)
\]
\[
a_2 = 15m = 15 \cdot \frac{36}{47} = \frac{540}{47} \, (cm)
\]
\[
a_3 = 12m = 12 \cdot \frac{36}{47} = \frac{432}{47} \, (cm)
\]

6. **Sử dụng công thức Heron để tính diện tích**:
- Tính nửa chu vi:
\[
s = \frac{36}{2} = 18 \, (cm)
\]
- Diện tích:
\[
S = \sqrt{s(s-a_1)(s-a_2)(s-a_3)}
\]
Tương ứng thay các giá trị của \( a_1, a_2, a_3 \) vào công thức trên để tính diện tích \( S \).

### Kết thúc:
Bạn có thể tính diện tích \( S \) từ giá trị của các cạnh đã tìm được ở trên.