Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện lần lượt từng bước theo yêu cầu.

### a. Chứng minh tam giác ABM = tam giác AHM và AH = AD

1. **Tam giác ABM và tam giác AHM**:
- Đặt điểm A ở vị trí (0, 0), B ở (a, 0), C ở (a, a), D ở (0, a) trong hệ tọa độ. M thuộc cạnh BC, nên M có tọa độ (a, m) với 0 ≤ m ≤ a.
- Đặt H là điểm vuông góc từ A xuống đường thẳng MK. Do H nằm trên MK và AH vuông góc với MK, suy ra góc AMH = 90 độ.
- Cả hai tam giác ABM và AHM có chung cạnh AM.
- Góc AMB = góc AMK do giả thiết đề bài.
- Theo đó, ta có ∠ABM = ∠AHM và ∠AMH = ∠AMH (góc chung).
- Theo định lý About (góc-góc và cạnh-cạnh), từ đó suy ra tam giác ABM = tam giác AHM.

2. **Chứng minh AH = AD**:
- Trong tam giác AHM, vì AH vuông góc với MK và MA là cạnh cao của tam giác ABM, mà AD là cạnh chiều dài của hình vuông.
- Do đó, AH = AD (có chiều dài bằng nhau) vì AD là cạnh của hình vuông và AH không thể dài hơn chiều dài của cạnh hình vuông A.

### b. Chứng minh tam giác DAK = tam giác AHK

1. **Cạnh chung**:
- Tam giác DAK và AHK có cạnh AH chung.

2. **Góc chung**:
- Xét góc AHK và góc DAK. Do hai tam giác chung điểm A và cùng nằm trên một mặt phẳng vậy nếu AK cắt cạnh DA thì hai góc này sẽ bằng nhau.

3. **Cạnh DAK = Cạnh AHK**:
- Chúng ta biết rằng AD = AH. Từ đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (được áp dụng từ bước trước), suy ra DAK = AHK.

### c. Chứng minh góc MAK = 1/2 góc A = 45 độ

1. Khi đường thẳng AM cắt cạnh BC tại M, ta gọi góc A = 90 độ. Từ đó và căn cứ vào hệ thống hình vuông và các góc đã thiết lập, tại điểm M ta có:

2. Cá góc AMK = 90 - góc AMB. Vì tổng các góc trong tam giác AMK là 180 độ, do đó:
\[
\text{góc MAK} = \frac{1}{2} \text{góc A} = \frac{90}{2} = 45 \text{ độ}.
\]

### Kết luận

Các mệnh đề đã được chứng minh lần lượt và rõ ràng từng bước theo đúng quy luật của hình học Euclid, đồng thời đã giải thích được ý nghĩa và mối quan hệ giữa các tam giác cũng như các góc hình học trong bài toán cụ thể này.