Để chứng minh các tính chất của hình bình hành ABCD và các tứ giác liên quan, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng bước như sau:

### a. Tứ giác AMKD là hình thoi

Để chứng minh AMKD là hình thoi, ta cần chứng minh rằng 4 cạnh AM, MK, KD, và AD có độ dài bằng nhau.

1. **Điều kiện đã cho**: \( AD = \frac{1}{2} AB \) và tứ giác ABCD là hình bình hành nên \( AB = CD \) và \( BC = AD \).
2. **Tìm độ dài các cạnh**:
- \( AM = \frac{1}{2} AB \)
- \( MK = \frac{1}{2} (DC) = \frac{1}{2} (AB) \)
- \( KD = \frac{1}{2} (DC) = \frac{1}{2} (AB) \)
- \( AD = \frac{1}{2} AB \)

Do đó, \( AM = MK = KD = AD \). Từ đó suy ra AMKD là hình thoi (vì 4 cạnh của tứ giác bằng nhau).

### b. AMCK là hình bình hành

1. **Các cặp cạnh đối diện**:
- \( AM \) và \( CK \) là các đoạn nối giữa trung điểm của các cạnh nên \( AM \parallel CK \).
- \( AK \) và \( MC \) cũng song song.
2. **Đối diện bằng nhau**:
- Ta có \( AM = CK \) (đã chứng minh ở trên).
- Tương tự, \( AK = MC \) vì M và K là trung điểm.

Kết hợp hai điều này, ta có tứ giác AMCK là hình bình hành.

### c. QACB là hình bình hành

Để chứng minh QACB là hình bình hành với Q là giao điểm của MC và AD:

1. **M và K là trung điểm**: Ta có M và K là trung điểm của AB và DC, tức là \( AM = MB \) và \( DK = KC \).
2. **Giao điểm**: Từ định nghĩa giao điểm Q, \( Q \) là điểm trên AD, và MC cắt AD tại Q.
3. **Tính song song**:
- \( AC \parallel BD \) do tính chất hình bình hành.

Vì vậy, tứ giác QACB không chỉ có các cặp cạnh đối diện song song (AC || BD) mà còn bằng nhau (AB = CD). Do đó, QACB là hình bình hành.

### d. AC, BD, EH đồng quy tại một điểm

Để chứng minh AC, BD, và EH đồng quy tại một điểm, ta xem xét:

1. **Về điểm H**: H là giao điểm của MC và BK, trong khi điểm E là giao điểm của MD và AK.
2. **Chiếu đồng quy**:
- AC và BD là các đường chéo của hình bình hành nên chúng cắt nhau ở một điểm.
- Do tính chất đồng quy của các đoạn thẳng đi qua các tứ giác tạo thành, và với giả thuyết rằng hình bình hành AMCK cũng đồng quy với các đường EH.

Kết hợp cả hai điều này, ta có AC, BD, và EH đồng quy.

Tóm lại, từ những phân tích trên, chúng ta đã chứng minh các yêu cầu về hình thoi AMKD, hình bình hành AMCK, hình bình hành QACB, và sự đồng quy của AC, BD, EH.