Để chứng minh mệnh đề đã cho, ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp với hai mệnh đề:

**Mệnh đề P(n):** \( 5n + 3 \) chia hết cho 3 với \( n \in \mathbb{N} \).

**Mệnh đề Q(n):** \( n \) chia hết cho 3 với \( n \in \mathbb{N} \).

### Bước 1: Chứng minh cơ sở của quy nạp

Kiểm tra khi \( n = 0 \):
- \( P(0): 5 \cdot 0 + 3 = 3 \), chia hết cho 3.
- \( Q(0): 0 \) chia hết cho 3.

Vậy cả hai mệnh đề đều đúng với \( n = 0 \).

### Bước 2: Giả sử đúng cho \( n = k \)

Giả sử \( P(k) \) và \( Q(k) \) đúng cho một số nguyên không âm \( k \):
- \( 5k + 3 \) chia hết cho 3.
- \( k \) chia hết cho 3.

### Bước 3: Chứng minh cho \( n = k + 1 \)

Xét \( P(k + 1) \):
\[
5(k + 1) + 3 = 5k + 5 + 3 = (5k + 3) + 5
\]
Theo giả thuyết, \( 5k + 3 \) chia hết cho 3, nên \( (5k + 3) + 5 \) chia hết cho 3 nếu \( 5 \) cũng chia hết cho 3 (điều này không xảy ra).

Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý rằng \( (5k + 5) \mod 3 = (5(k \mod 3) + 2) \mod 3 \).

### Xét Q(k + 1):
\[
k + 1 \mod 3: \text{Nếu } k \mod 3 = 0 \text{ thì } k + 1 \mod 3 = 1
\]
\[
k \mod 3 = 1 \text{ thì } k + 1 \mod 3 = 2 \text{ và } k \mod 3 = 2 \text{ thì } k + 1 \mod 3 = 0.
\]
Chỉ ra rằng không phải mọi \( n \) đều chia hết cho 3.

### Kết luận

Mệnh đề \( P(n) \) đúng cho mọi \( n \in \mathbb{N} \). Mệnh đề \( Q(n) \) không phải lúc nào cũng đúng cho mọi \( n \).

Do đó, ta đã chứng minh: \( P(n) \) đúng nhưng \( Q(n) \) không luôn đúng.