Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc tạo thành bởi hai đường thẳng song song cắt nhau bởi một đường chéo.

### a) Chứng minh \( By \parallel Cz \):

1. **Dữ kiện**: \( Az \parallel C_z \) và \( BA_x = 50^\circ \), \( CB_y = 40^\circ \).
2. Từ dữ kiện \( Az \parallel C_z \), ta có góc đồng vị:
- \( \angle BA_x + \angle CB_y = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \).
3. Vì tổng các góc đồng vị là \( 90^\circ \), hai đường thẳng \( By \) và \( Cz \) song song với nhau theo định lý về góc đồng vị.

### b) Chứng minh \( Az \parallel By \):

1. **Dữ kiện**: \( A_x \parallel C_z \) và \( CB_y = 40^\circ \), \( AC = 40^\circ \).
2. Từ góc trong cùng phía:
- \( \angle CB_y \) và \( \angle A_y = 40^\circ\) cùng nằm một bên của đường chéo \( AB \).
3. Vì \( \angle CB_y + \angle A_y = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ \), chúng là góc phụ, do đó \( Az \parallel By \).

### c) Chứng minh \( AB \perp BC \):

1. **Dữ kiện**: Các góc \( 50^\circ \) và \( 40^\circ \) trên cùng một điểm.
2. Tổng ba góc trong tam giác \( ABC \):
- \( \angle A + \angle B + \angle C = 50^\circ + 40^\circ + x = 180^\circ \).
3. Biết rằng \( \angle A = 50^\circ \) và \( \angle C = 40^\circ \):
- \( x = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ \).
4. Do đó, \( AB \perp BC \).

Kết luận, ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu trong bài toán.