Để chứng minh các thành phần trong hình bài toán này, chúng ta có thể thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( b \parallel c \):

1. **Gọi**: Gọi \( M, N \) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \( a \) với \( b \) và \( c \).
2. **Xét các góc**:
- Ta biết \( \angle ABM = 60^\circ \) (góc giữa \( a \) và \( b \)).
- Ta cũng có \( \angle BDC = 60^\circ \).
3. **Góc trong cùng phía**: Ta có \( \angle BMC + \angle ABM = 180^\circ \).
- Suy ra \( \angle BMC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
4. **Góc so le**: Từ \( \angle BMC \) và góc ngoài \( \angle BDC \), ta có:
- \( \angle DBC = \angle BMC = 120^\circ \).
5. **So sánh góc**:
- Từ \( \angle ABC + \angle DBC = 180^\circ \) (góc trong cùng phía), ta có \( 60^\circ + \angle DBC = 180^\circ \).
- Suy ra \( \angle DBC = 120^\circ \).
6. **Kết luận**: Vì \( \angle ABM + \angle DBC = 180^\circ \) và \( b \) cắt \( c \) tại \( B \) nên ta có \( b \parallel c \).

### b) Chứng minh \( c \parallel d \):

1. **Gọi**: Gọi \( P \) là giao điểm của đường thẳng \( a \) với \( d \).
2. **Xét các góc**:
- Ta biết \( \angle BDC = 60^\circ \) và \( \angle DCP = 50^\circ \).
3. **Góc bù**:
- Từ góc \( DCP \), suy ra \( \angle DCB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
4. **So sánh góc**:
- Có \( \angle DBC = 120^\circ \) và \( \angle DCB = 130^\circ \), từ đó, ta lập luận rằng hai góc này bù nhau để chứng minh rằng \( c \parallel d \).

### c) Tính góc \( \angle ABD \):

1. **Xét góc**: Ta có \( \angle ABD = \angle ABM \).
2. **Kết quả**:
- Vậy \( \angle ABD = 60^\circ \).

**Kết luận**: Đã chứng minh được \( b \parallel c \), \( c \parallel d \) và tìm được \( \angle ABD = 60^\circ \).