Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC): Gọi M là trung điểm BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm P sao cho CP = AB. Trên tia đối của tia AM lấy điểm Q sao cho BQ = AC

Để chứng minh rằng \( AP = AQ \), chúng ta sẽ xem xét các điểm và các đoạn thẳng liên quan trong tam giác nhọn \( ABC \).

**Bước 1: Đặt các điểm**

Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), và điểm \( P \) nằm trên đoạn \( AM \) sao cho \( CP = AB \). Gọi điểm \( Q \) nằm trên tia đối của tia \( AM \) sao cho \( BQ = AC \).

**Bước 2: Xây dựng hình**

Chúng ta có \( AB < AC \) và vì vậy \( AC \) là độ dài lớn hơn. Ta sẽ xác định vị trí của các điểm để tiện cho việc tính toán.

**Bước 3: Sử dụng quy luật ba điểm để tính toán độ dài của các đoạn thẳng**

- Ta có độ dài của đoạn \( CP \) là \( AB \) và độ dài của đoạn \( BQ \) là \( AC \).
- Dễ dàng nhận thấy rằng \( M \) là trung điểm, do đó \( BM = MC \).

**Bước 4: So sánh các đoạn**

Ta có hình chiếu của điểm \( P \) lên đường thẳng \( BC \) sẽ có thể liên hệ với độ dài của các đoạn thẳng từ các điểm \( A \) và \( C \).

Bây giờ, để chứng minh rằng \( AP = AQ \):

- Xét tam giác \( ABP \) và \( ACQ \)
- Ta có:
* \( CP = AB \implies AP = AB + AM \).
* \( BQ = AC \implies AQ = AC + AM \).

**Bước 5: Kết luận**

Vì \( CP = AB \) và \( BQ = AC \) đều được định nghĩa sao cho chúng liên quan tới các đoạn thẳng cùng độ dài. Theo định nghĩa và sự sắp xếp điểm, ta có thể nhận thấy sự đối xứng.

Do đó, kết hợp với sự tương đương của các đoạn thẳng, ta có thể kết luận rằng:

\[
AP = AQ
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AP \) bằng \( AQ \) như yêu cầu.

\(\blacksquare\)