Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại các điểm M và N

Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng \( MB, MC \) và tính số đo góc \( ACB \):

1. **Hình chữ nhật \( ABCD \)**:
- \( AB = 4 \, \text{cm} \)
- \( BC = 3 \, \text{cm} \)
- Suy ra \( AC \) có thể tính bằng định lý Pythagoras:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

2. **Đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \)**:
- \( M \) nằm trên đường \( AB \), cách \( B \) một khoảng nào đó.
- \( N \) nằm trên đường \( AD \), cách \( D \) một khoảng nào đó.
- Ta sẽ xác định các đoạn \( MB \) và \( MC \) sau khi biết vị trí chính xác của \( M \) và \( N \).

3. **Góc \( ACB \)**:
- Sử dụng định nghĩa hướng của góc trong tam giác vuông:
\[
\tan(ACB) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AB \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \):

- Ta có:
- \( AD = BC = 3 \, \text{cm} \)
- \( MB \text{ và } ND \) là các đoạn thẳng tương ứng với \( AB \) và \( AD \).
- Để chứng minh, chúng ta có thể sử dụng hình chiếu và công thức tính diện tích của hình chữ nhật hoặc tam giác.

### c) Xác định chiều điểm \( P \) sao cho \( NP = NM \), và tìm điểm \( Q \):

- \( P \) sẽ nằm trên đường thẳng \( NA \) sao cho khoảng cách từ \( N \) đến \( P \) bằng khoảng cách từ \( N \) đến \( M \).
- Tiếp theo, xây dựng tia phân giác \( ANM \) và xác định \( Q \).
- Sử dụng tính chất của tam giác để tính tỉ số:
\[
\frac{S_{PAQ}}{S_{AOM}} = \frac{S_{PMN}}{S_{AON}}
\]

Cuối cùng, bạn có thể tính biến đổi cụ thể theo kích thước hình học để đi đến kết luận. Nếu cần giải thích cụ thể cho từng bước, mình có thể giúp thêm!