Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm K sao cho BD là đường trung trực của AK. Chứng minh góc AKC = 90o và tứ giác BCKD là hình thang cân

Để chứng minh hai điều: góc \( AKC = 90^\circ \) và tứ giác \( BCKD \) là hình thang cân trong hình bình hành \( ABCD \), ta sẽ làm như sau:

**1. Chứng minh góc \( AKC = 90^\circ \)**

Theo giả thiết, \( BD \) là đường trung trực của \( AK \). Điều này nghĩa là:

- \( BD \) chia đoạn thẳng \( AK \) thành 2 đoạn bằng nhau, tức là \( AB = AK \).
- Đường trung trực của một đoạn thẳng luôn vuông góc với đoạn thẳng đó.

Vì vậy, \( BD \perp AK \).

Trong tam giác \( ABK \):

- Có \( BD \) là đường trung trực của \( AK \) nên góc \( AKB = 90^\circ \).
- Dựa vào tính chất của tam giác và mối quan hệ giữa các góc, ta có được \( \angle AKC = 90^\circ \) khi \( BD \) là đường trung trực.

**2. Chứng minh tứ giác \( BCKD \) là hình thang cân**

Để chứng minh tứ giác \( BCKD \) là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

- Trong hình bình hành \( ABCD \), với \( K \) là điểm sao cho \( BD \) là đường trung trực của \( AK \):
- Từ \( \triangle BDK \) và \( \triangle DKC \), từ tính chất của đường trung trực, ta có \( BK = DK \).

Do đó:

- \( BC \) song song với \( DK \) (theo tính chất của hình bình hành).
- Mặt khác, \( CD \) song song với \( BK \).

Vì vậy, \( BCKD \) có hai cặp cạnh song song \( BC \parallel DK \) và \( BK \parallel CD \).

Vì vậy, tứ giác \( BCKD \) là hình thang và hơn nữa, cạnh \( BK \) bằng cạnh \( DK \). Bởi vậy tứ giác \( BCKD \) là hình thang cân.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng góc \( AKC = 90^\circ \) và tứ giác \( BCKD \) là hình thang cân.