### a) Chứng minh AMCN là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó là song song và bằng nhau.

**Bước 1:** Chứng minh \( AM \parallel CN \)

- Vì M, N là trung điểm của AB và CD, nên ta có:
\[
AM = MB \quad \text{(1)}
\]
\[
CN = ND \quad \text{(2)}
\]
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau, do đó:
\[
AB = CD \quad \text{(3)}
\]
- Từ (1), (2), và (3), dễ dàng suy ra:
\[
AM = CN \quad \text{(4)}
\]

**Bước 2:** Chứng minh \( AC \parallel MN \)

- Xét tứ giác AMCN. Ta có, \( AB \parallel CD \) (tính chất hình bình hành).
- Do M và N nằm giữa các cạnh AB và CD (vì chúng là trung điểm), nên MN cũng phải song song với AB và CD.

Từ hai điều trên (\(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel MC\)), ta kết luận rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( BF = FE = ED \)

Để chứng minh rằng BF = FE = ED, ta sử dụng tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng song song.

**Bước 1:** Kẻ đường thẳng từ F song song với AB

Theo giả thiết, GF song song với AB, do đó, theo tính chất của những đường thẳng song song cắt nhau, từ F đến G, chúng ta có:

- \( \angle FBG = \angle GAB \)

**Bước 2:** Lập luận sử dụng tỉ lệ

- Bởi vì AN và CM cắt BD tại E và F và BF song song với AN, ta có thể áp dụng định lý cơ bản về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác:
\[
\frac{BF}{FE} = \frac{AB}{AN} = 1 \quad \text{(vì M và N là trung điểm)}
\]
=> \( BF = FE \).

**Bước 3:** Chứng minh \( ED = FE \)

- Bởi vì ED là một đoạn nối từ điểm E trên BD để đến điểm D. Do đó, ta thấy rằng với tính chất của hình bình hành, đoạn ED cũng được chia đều bằng chiều dài các đoạn thẳng khác bởi vì M và N là trung điểm của các cạnh.

Từ đó, ta kết luận:

\[
BF = FE = ED
\]

### Kết luận

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng AMCN là hình bình hành và có \( BF = FE = ED \).