Để chứng minh biểu thức \( P(x) = x^5 - 15x^2 - x + 5 \) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \( x \), chúng ta sẽ xem xét giá trị của \( P(x) \) theo từng trường hợp \( x \mod 5 \). Có 5 trường hợp cần xem xét: \( x \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \mod 5 \).

**Trường hợp 1: \( x \equiv 0 \mod 5 \)**
\[
P(0) = 0^5 - 15 \cdot 0^2 - 0 + 5 = 5
\]
\( P(0) \equiv 0 \mod 5 \)

**Trường hợp 2: \( x \equiv 1 \mod 5 \)**
\[
P(1) = 1^5 - 15 \cdot 1^2 - 1 + 5 = 1 - 15 - 1 + 5 = -10
\]
\( -10 \equiv 0 \mod 5 \)

**Trường hợp 3: \( x \equiv 2 \mod 5 \)**
\[
P(2) = 2^5 - 15 \cdot 2^2 - 2 + 5 = 32 - 15 \cdot 4 - 2 + 5 = 32 - 60 - 2 + 5 = -25
\]
\( -25 \equiv 0 \mod 5 \)

**Trường hợp 4: \( x \equiv 3 \mod 5 \)**
\[
P(3) = 3^5 - 15 \cdot 3^2 - 3 + 5 = 243 - 15 \cdot 9 - 3 + 5 = 243 - 135 - 3 + 5 = 110
\]
\( 110 \equiv 0 \mod 5 \)

**Trường hợp 5: \( x \equiv 4 \mod 5 \)**
\[
P(4) = 4^5 - 15 \cdot 4^2 - 4 + 5 = 1024 - 15 \cdot 16 - 4 + 5 = 1024 - 240 - 4 + 5 = 785
\]
\( 785 \equiv 0 \mod 5 \)

Sau khi kiểm tra tất cả các trường hợp, ta thấy rằng \( P(x) \equiv 0 \mod 5 \) cho tất cả các giá trị của \( x \mod 5 \). Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
x^5 - 15x^2 - x + 5 \text{ chia hết cho } 5 \text{ với mọi số nguyên } x.
\]