Rút gọn P? Với \(x \in \mathbb{N}^*\), tìm giá trị lớn nhất của M = P/Q . 1/x

Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x + 2}} - \frac{8 - \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}
\]

Ta sẽ tìm mẫu chung và thực hiện các phép rút gọn. Mẫu chung của hai phân thức ở đây là \(\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}\).

Tiến hành biến đổi:

1. **Quy đồng**:

\[
P = \frac{(3 - \sqrt{x}) \sqrt{x - 2} - (8 - \sqrt{x}) \sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}}
\]

2. **Rút gọn phân số**: Giải thích từng phần trong tử số.

Bây giờ ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \( M = \frac{P}{Q} \cdot \frac{1}{x} \) với \( Q = \frac{1}{\sqrt{x + 2}} \).

Tiến hành giải \( M \).

1. Thay \( P \) vào \( M \):

\[
M = P \cdot \sqrt{x + 2} \cdot \frac{1}{x}
\]

2. Tính và rút gọn biểu thức để tìm giá trị lớn nhất của \( M \).

Trong các bước tiếp theo, ta sẽ cần đưa các điều kiện \( x \in \mathbb{N}^* \) vào và tìm giá trị lớn nhất cần tìm. Sau khi tìm được \( M \) theo biểu thức các hằng số, có thể sử dụng đạo hàm hay cách thử để tìm giá trị lớn nhất tương ứng với \(\mathbb{N}^*\).

Lưu ý rằng thao tác cụ thể sẽ bao gồm tính toán giá trị cho các \( x \) trong khoảng \(\mathbb{N}^*\) và so sánh.