Dưới đây là kết quả rút gọn cho các biểu thức đã cho:

**Bài 1:**
\[
(4^{2.5}) \cdot \left(2^{3} \cdot \frac{1}{16}\right) = 4^{2.5} \cdot (2^{3} \cdot 2^{-4}) = 4^{2.5} \cdot 2^{-1}
\]
Chuyển đổi 4 về cơ số 2: \(4 = 2^2\)
\[
(2^2)^{2.5} \cdot 2^{-1} = 2^{5} \cdot 2^{-1} = 2^{4} = 16
\]

**Bài 2:**
\[
2^{2} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2} = 2^2 \cdot \frac{4^2}{9^2} = 2^2 \cdot \frac{(2^2)^2}{(3^2)^2} = 2^2 \cdot \frac{2^4}{3^4} = 2^{2 + 4} \cdot 3^{-4} = \frac{2^{6}}{3^{4}} = \frac{64}{81}
\]

**Bài 3:**
\[
2^{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 2^{3} \cdot \frac{2^2}{3^2} = \frac{2^{3 + 2}}{3^2} = \frac{2^{5}}{3^{2}} = \frac{32}{9}
\]

**Bài 4:**
\[
24^{4} \cdot 54^{24.210} \cdot 72^{6}
\]
Chuyển đổi sang cơ số nguyên tố:
\[
24 = 2^3 \cdot 3^1, \quad 54 = 2^1 \cdot 3^3, \quad 72 = 2^3 \cdot 3^2
\]
Áp dụng lũy thừa:
\[
(2^3 \cdot 3^1)^{4} \cdot (2^1 \cdot 3^3)^{24.210} \cdot (2^3 \cdot 3^2)^{6}
\]
Tính từng phần:
\[
= 2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 2^{24.210} \cdot 3^{72.630} \cdot 2^{18} \cdot 3^{12}
\]
Tổng hợp lại:
\[
= 2^{12 + 24.210 + 18} \cdot 3^{4 + 72.630 + 12}
\]

**Bài 5:**
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot 2^{2.8} \cdot (2^{2})^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \cdot 2^{2.8} \cdot 2^{6} = 2^{-3} \cdot 2^{2.8} \cdot 2^{6}
\]
Tính lũy thừa cơ số 2:
\[
= 2^{-3 + 2.8 + 6} = 2^{5.8} = 2^{29/5}
\]

Tóm lại:
- Bài 1: 16
- Bài 2: \(\frac{64}{81}\)
- Bài 3: \(\frac{32}{9}\)
- Bài 4: \(2^{54.210} \cdot 3^{88.630}\)
- Bài 5: \(2^{29/5} = 2^{5.8}\)