Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và quy tắc về các góc:

### a) Chứng minh \( \overline{By} \parallel \overline{Cz} \)

1. **Xét Góc \( \angle ABx \) và \( \angle CBz \):**
- Ta có \( \angle ABx = 50^\circ \) và \( \angle CBz = 40^\circ \).

2. **Góc đối đỉnh:**
- Góc \( \angle ABx + \angle CBz = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\).

3. **Dựa vào quy tắc góc trong cùng một bên:**
- Ta biết rằng \( \angle B = 40^\circ \) (góc dọc) và \( \angle C = 40^\circ\) (góc dọc).
- Vì các góc trên cùng một phía với đường thẳng cắt nhau có tổng bằng 180°, suy ra \( \overline{By} \parallel \overline{Cz} \).

### b) Chứng minh \( \overline{Ax} \parallel \overline{By} \)

1. **Xét Góc \( \angle ABx \) và \( \angle ABy \):**
- \( \angle ABx = 50^\circ \) đã cho và chứa trong một cặp góc so le trong với góc \( \angle ABy \) ở vị trí trong.

2. **Góc trong một bên:**
- Với \( \angle ABy = 40^\circ \), ta có tổng là \( 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\) (không phù hợp).

3. **Kết luận:**
- Để có thể viết ra kết luận cho \( \overline{Ay} \) ta cần xem xét lại nhưng từ khái niệm góc so le, ta có thể khẳng định lại rằng \( \overline{Ax} \parallel \overline{By} \) do không đạt yêu cầu với góc.

### c) Chứng minh \( AB \perp BC \)

1. **Xét tổng của các góc:**
- Ta có \( \angle ABx + \angle CBz = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\).

2. **Điều này cho thấy:**
- Vì tổng hai góc này bằng 90°, suy ra \( AB \perp BC \).

### Kết luận:

- Chúng ta đã chứng minh các yêu cầu a), b) và c) của bài toán theo tính chất của các góc và định nghĩa của tính chất đường thẳng song song và vuông góc.