Cho tam giác ABC vuông tai A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD=HA. trên BC lấy điểm K sao cho BK=AB

Để giải bài toán này, ta cần phân tích các thành phần hình học một cách tỉ mỉ và chứng minh các yêu cầu đề ra.

### a) Chứng minh rằng K là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ACD

1. **Đưa ra một số ký hiệu:**
- Gọi \( BC = a \), \( AB = c \) và \( AC = b \).
- Gọi \( AD \) là đoạn nối từ A tới D.

2. **Xác định vị trí điểm D:**
- Điểm D nằm trên đường thẳng đối diện với AH, và HD = HA. Điều này ngụ ý rằng từ H, nếu ta vẽ một đoạn thẳng dài bằng HA tới phía bên kia của AH, ta sẽ tới D.
- Do AH vuông góc với BC, ta biết được vị trí của H cũng như mối quan hệ với các điểm khác trong tam giác.

3. **Chứng minh K là giao điểm ba đường phân giác:**
- Mình cần tìm ba đường phân giác của tam giác ACD:
- Đầu tiên, chú ý rằng AH là một đường phân giác của góc CAD (vì nó vuông góc với BC).
- Ta có thể kiểm tra đường phân giác còn lại bằng cách xem xét các góc tại D và H.
- Rồi chứng minh rằng K nằm trên ba đường phân giác này thông qua định lý về tỉ số cạnh (ví dụ: ta có thể dùng chuẩn tắc Viète hay tỉ lệ giữa các cạnh, hoặc nghiên cứu mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác).

### b) Chứng minh AE là phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác CAD

4. **Lấy E sao cho B là trung điểm của EK:**
- Thực tế, nếu B là trung điểm của EK thì có thể xác định tương đối dễ vị trí của E thông qua K.

5. **Chứng minh AE là phân giác ngoài:**
- Để AE là phân giác ngoài tại đỉnh A, ta cần xác minh rằng:
\[
\frac{CA}{AD} = \frac{AE}{ED}
\]
- Ta biết rằng điểm E được xác định sao cho B là trung điểm, tức là \( EB = BK \).
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của đường phân giác ngoài, ta có thể áp dụng định lý đường phân giác để so sánh tỉ lệ cạnh và chứng minh điều này.

6. **Kết luận:**
- Phải kiểm tra tính tỷ lệ giữa các đoạn thẳng AD, AE, ED trong tam giác CAD, kết hợp với các thông tin về vị trí của E và K.

Khó khăn chính ở đây là nhận diện được tính chất của phân giác ngoài trong hình học này, thường có thể sử dụng tỉ lệ hoặc tính chất về giao điểm, nhưng cần kiên nhẫn để xác định rõ ràng các vị trí và thiết lập các tỉ lệ cần thiết rồi từ đó đến các kết luận.

Thông qua các bước này, ta có thể hoàn thiện lời giải yêu cầu chứng minh K là giao điểm của ba đường phân giác cũng như tính chất của AE trong tam giác ACD.