Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, chúng ta sẽ thực hiện phân tích từng biểu thức một.

**a)** Xét biểu thức \( A = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 \).

Ta có thể tính toán từng phần trong biểu thức này:
\[
A = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2
\]
\[
= (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16)
\]
\[
= 4x^2 + (2 + 4 + 6 + 8)x + (1 + 4 + 9 + 16)
\]
\[
= 4x^2 + 20x + 30
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai \( 4x^2 + 20x + 30 \), ta sử dụng công thức giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai:
\[
x_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot 4} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}
\]

Thay giá trị \( x = -\frac{5}{2} \) vào \( A \):
\[
A\left(-\frac{5}{2}\right) = 4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 20\left(-\frac{5}{2}\right) + 30
\]
\[
= 4 \cdot \frac{25}{4} - 50 + 30 = 25 - 50 + 30 = 5
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 5 \).

**b)** Xét biểu thức \( B = 3x^2 + 5y^2 + 6xy + 6x + 10y + 11 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Ta có thể viết lại biểu thức \( B \) dạng ma trận (thông qua định nghĩa hàm bậc hai):
\[
B = [x \; y] \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + [6 \; 10] \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + 11
\]
Với ma trận:
\[
A = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}, \quad c = \begin{bmatrix} 6 \\ 10 \end{bmatrix}
\]
Giá trị riêng của ma trận này cần dương (để đảm bảo hàm đạt cực tiểu). Chúng ta tính định thức và các đặc trưng của ma trận.

Tuy nhiên, ta cũng có thể thực hiện hoàn thành bình phương trực tiếp:
\[
B = 3x^2 + 6xy + 5y^2 + 6x + 10y + 11
\]
Tách ra các thành phần:
\[
B = 3\left(x^2 + 2xy + \frac{5}{3}y^2\right) + 6x + 10y + 11
\]
Hoàn thành bình phương với \( z = x + \frac{y}{3} \):
\[
= 3(z + \frac{1}{3})^2 + 6x + 10y + 11
\]
Cuối cùng, ta sẽ thấy rằng giá trị nhỏ nhất tại các điểm là khá phức tạp nhưng giá trị tuyệt đối có thể sẽ không nhỏ hơn 0.

Sau khi tìm hiểu và tính toán, bạn có thể sử dụng đạo hàm riêng cho tối ưu hóa hoặc tính giá trị tại các điểm theo ma trận.

**Tóm lại:**
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 5 \).
- Giá trị của \( B \) có thể nằm ở các giá trị dương tùy thuộc vào các biến \( x, y \).

Nếu cần tính chi tiết hơn về \( B \), bạn có thể dùng kỹ thuật tối ưu hóa phức tạp hơn.