Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2 \), chúng ta sẽ tiến hành khai triển và đơn giản hóa biểu thức này.

Bắt đầu bằng cách khai triển từng thành phần trong biểu thức:

\[
A = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 + (x + 3)^2 + (x + 4)^2
\]

Khai triển từng bình phương:

\[
A = (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 8x + 16)
\]

Gộp tất cả các hạng tử lại với nhau:

\[
A = 4x^2 + (2 + 4 + 6 + 8)x + (1 + 4 + 9 + 16)
\]

Tính tổng các hạng tử:

\[
2 + 4 + 6 + 8 = 20 \quad \text{và} \quad 1 + 4 + 9 + 16 = 30
\]

Vậy \( A \) trở thành:

\[
A = 4x^2 + 20x + 30
\]

Đây là một hàm bậc hai trong dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 4 \), \( b = 20 \), và \( c = 30 \). Hàm số này có cực tiểu tại điểm:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times 4} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ tìm giá trị của \( A \) tại điểm \( x = -\frac{5}{2} \):

\[
A\left(-\frac{5}{2}\right) = 4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 20\left(-\frac{5}{2}\right) + 30
\]

Tính từng hạng tử:

\[
4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{25}{4} = 25
\]

\[
20\left(-\frac{5}{2}\right) = -50
\]

Vậy:

\[
A\left(-\frac{5}{2}\right) = 25 - 50 + 30 = 5
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là

\[
\boxed{5}
\]