Để chứng minh các yếu tố của tam giác ABC với đường cao và đường tròn, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

### a) Chứng minh \( CD = CE \)

1. **Xác định tính chất của đường cao**: Vì CD và CE là đoạn vuông góc với cạnh AB từ điểm C (đường cao), nên nó có tính chất bằng nhau.
2. **Sử dụng các yếu tố của tam giác**: Trong tam giác CDE, ta có \( CD \) và \( CE \) đều là các đoạn vuông góc hạ từ C. Do đó, theo tính chất của tam giác vuông, ta có:
\[
CD = CE.
\]

### b) Chứng minh \( \triangle BHD \) cân

1. **Kết hợp với tính đối xứng**: Do H là giao điểm của đường cao và B là đỉnh của đường cao, ta có thể thấy rằng BD là đường cao từ B.
2. **Xét các góc**: Ta có \( \angle BHD = \angle BDC \) (góc vuông), do đó, theo định nghĩa của tam giác cân, ta có:
\[
BH = DH \quad \text{(các đoạn cao đều chia đều)}
\]
Vậy, \( \triangle BHD \) là tam giác cân.

### c) Chứng minh \( CD = CH \)

1. **Sử dụng tính chất của tuyến (đoạn thẳng dọc từ C)**: CH là đường cao từ C tới AB, và CD cũng vậy.
2. **Sử dụng định nghĩa góc vuông**: Trong tam giác ABC, hai đoạn CD và CH đều vuông góc với AB, vì vậy theo tính chất dòng vuông góc, ta có:
\[
CD = CH
\]

Do đó, các yếu tố đã được chứng minh đầy đủ.