Để chứng minh rằng hình thang \( MNPQ \) là hình thang cân dưới điều kiện cho trước, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và các góc của nó.

1. **Giả thiết**: Cho hình thang \( ABCD \) có đáy \( AB \parallel CD \) và \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \).

2. **Tính chất góc**: Vì \( AB \parallel CD \), ta có:
- \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \) (góc trong cùng phía).
- \( \angle ADC + \angle BCD = 180^\circ \) (góc trong cùng phía).

Từ giả thiết \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \), ta thấy rằng:
\[
\angle ABC + \angle DAB + \angle ADC + \angle BCD = 360^\circ.
\]

3. **Hình thang cân**: Để chứng minh \( MNPQ \) là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai góc ở hai đáy là bằng nhau, tức là:
- \( \angle MNP = \angle MPQ \).

4. **Chứng minh**:
- Bởi vì \( AB \parallel CD \), các góc ở đáy cũng có liên quan theo tính chất của góc.
- Từ \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \) và \( \angle ABC + \angle DAB = 180^\circ \), đồng nghĩa với việc:
* \( \angle DAB = \angle ADC \) và \( \angle ABC = \angle BCD \).

- Do đó, ta có:
\[
\angle MNP = \angle ABC = \angle BCD,
\]
và
\[
\angle MPQ = \angle DAB = \angle ADC.
\]

Vì \( \angle DAB = \angle ADC \) và \( \angle MNP = \angle MPQ \), suy ra \( MNPQ \) là hình thang cân với tính chất các góc ở đáy bằng nhau.

Từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng hình thang \( MNPQ \) là hình thang cân, do đó hoàn thành bài toán.