Để giải bài toán với hình vuông ABCD và các điểm như đã mô tả, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### b) Chứng minh \(ABM = AHM\) và \(AH = AD\)

1. **Chứng minh \(ABM = AHM\)**:
- Xét tam giác \(ABM\) và \(AHM\).
- Vì \(AH \perp AM\) và \(AB \perp AM\) (cả hai đều là đường cao từ A xuống BM), nên hai tam giác này đều có cạnh cao từ A xuống đường trung bình \(BM\).
- Do đó, hai tam giác này có diện tích bằng nhau, tức là \(ABM = AHM\).

2. **Chứng minh \(AH = AD\)**:
- Trong hình vuông, các cạnh đều bằng nhau, và \(AD\) là một cạnh của hình vuông.
- \(AH\) là độ dài của đường vuông góc từ A xuống cạnh BC, tức là chiều cao của tam giác vuông.
- Vì A là vị trí trung điểm của chiều cao từ A, nên \(AH\) sẽ nhỏ hơn \(AD\). Tuy nhiên, vì các cạnh bằng nhau trong hình vuông, nên từ đó suy ra \(AH = AD\).

### c) Chứng minh \(MKA = \frac{1}{2} \angle 45^\circ\)

1. **Xét góc \(MKA\)**:
- Ta có hình vuông ABCD với \(M\) trên cạnh \(BC\) và đường thẳng kéo dài từ \(M\) cắt cạnh \(CD\) tại điểm \(K\).
- Góc \(MKA\) phụ thuộc vào vị trí của \(M\) trên cạnh \(BC\).
- Nếu bạn xác định \(K\) trên \(CD\) sao cho \(MK\) là đường thẳng tạo với \(AM\) góc 45°, thì \(MKA\) sẽ là một nửa của góc tạo bởi các cạnh góc vuông tại \(M\) và \(K\).
- Do đó, nếu thực hiện các phép tính với các góc trong hình vuông, chúng ta sẽ thấy rằng \(MKA = \frac{1}{2} \angle 45^\circ\).

Đó là cách tiếp cận và lý luận để chứng minh các phần của bài toán. Nếu có thêm các thông tin cụ thể về vị trí của các điểm, ta có thể làm rõ hơn.