Để rút gọn biểu thức và giải bất phương trình mà bạn đã đưa ra, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

**Bước 1: Rút gọn biểu thức bên trái.**

Biểu thức bên trái là:

\[
\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \div \left(\frac{1}{\sqrt{x} - 1}\right)
\]

Để thực hiện phép chia này, chúng ta sẽ nhân với phân số đảo:

\[
\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{1} = \sqrt{x} + 4
\]

Như vậy, biểu thức bên trái rút gọn được thành:

\[
\sqrt{x} + 4
\]

**Bước 2: Lập bất phương trình.**

Chúng ta có bất phương trình:

\[
\sqrt{x} + 4 \geq \frac{x}{4} + 5
\]

**Bước 3: Giải bất phương trình.**

Chuyển tất cả các hạng tử về phía bên trái:

\[
\sqrt{x} + 4 - \frac{x}{4} - 5 \geq 0
\]

Rút gọn hạng tử:

\[
\sqrt{x} - \frac{x}{4} - 1 \geq 0
\]

**Bước 4: Đặt một biến mới.**

Đặt \( y = \sqrt{x} \) thì \( x = y^2 \). Thay vào bất phương trình:

\[
y - \frac{y^2}{4} - 1 \geq 0
\]

Nhân cả phương trình với -1 và đảo chiều dấu bất phương trình:

\[
\frac{y^2}{4} - y + 1 \leq 0
\]

**Bước 5: Giải phương trình bậc 2.**

Giải phương trình \( \frac{y^2}{4} - y + 1 = 0 \):

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, \( a = \frac{1}{4}, b = -1, c = 1 \):

\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = 1 - 1 = 0
\]

Phương trình có một nghiệm duy nhất:

\[
y = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2
\]

**Bước 6: Tính giá trị của số liệu ban đầu.**

Quay trở lại với \( \sqrt{x} \):

\[
\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4
\]

**Bước 7: Xem xét dấu của biểu thức.**

Khảo sát dấu của biểu thức \( \frac{y^2}{4} - y + 1 \):

- Với \( y < 2 \) thì biểu thức dương.
- Với \( y = 2 \) thì biểu thức = 0.
- Với \( y > 2 \) thì biểu thức dương.

**Kết luận:**

Bất phương trình có nghiệm duy nhất tại \( x = 4 \).

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là:

\[
x = 4
\]