Cho hình thang ABCD (AB// CD ) . AC cắt BD tại O . Biết OC=OD . Chứng minh rằng: ABCD là hình thang cân

Để chứng minh rằng hình thang ABCD là hình thang cân, với điều kiện OC = OD, ta làm theo các bước sau:

1. **Gọi các điểm và các đoạn thẳng:** Ta có hình thang ABCD với AB // CD và AC cắt BD tại điểm O. Theo giả thiết, OC = OD.

2. **Vẽ các đường vuông góc:** Vẽ các đường vuông góc từ O đến AB và CD. Gọi M là chân đường vuông góc từ O đến AB và N là chân đường vuông góc từ O đến CD.

3. **Xem xét tam giác OMN:** Tam giác OMC và OMD là hai tam giác có cạnh OC = OD (theo giả thiết). Đồng thời, OM và ON đều là các đoạn vuông góc từ O đến hai cạnh AB và CD, nên OM = ON.

4. **Sử dụng định lý tam giác bằng nhau:** Từ đó ta có:
- OC = OD (theo giả thiết)
- OM = ON (vì chúng đều là đường vuông góc từ O đến AB và CD)

Từ đó, ta có hai tam giác OMC và OMD có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
- OC = OD
- OM = ON
- OO = OO (cạnh chung)

5. **Kết luận:** Theo định lý tam giác bằng nhau, ta có tam giác OMC ≡ tam giác OMD, suy ra các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau:

\[
\angle OMC = \angle OMD
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
\angle MAB = \angle NDA
\]
(vì AB // CD suy ra các góc đồng vị)

6. **Kết thúc:** Bởi vì hai góc ở hai đáy của hình thang ABCD bằng nhau, ta kết luận rằng hình thang ABCD là hình thang cân.

Nên ta có thể khẳng định rằng hình thang ABCD là hình thang cân.