Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định kích thước ban đầu của hình chữ nhật:**
- Gọi chiều dài là \( l \) cm và chiều rộng là \( w \) cm.
- Chu vi hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
P = 2(l + w)
\]
- Theo đề bài, chu vi là 124 cm:
\[
2(l + w) = 124 \implies l + w = 62 \quad (1)
\]

2. **Tính diện tích ban đầu:**
- Diện tích hình chữ nhật là:
\[
S = l \times w \quad (2)
\]

3. **Tính diện tích sau khi mở rộng:**
- Sau khi mở rộng chiều dài thêm 5 cm và chiều rộng thêm 3 cm:
- Chiều dài mới: \( l + 5 \)
- Chiều rộng mới: \( w + 3 \)
- Diện tích mới sẽ là:
\[
S' = (l + 5)(w + 3)
\]
- Theo đề bài, diện tích tăng 225 cm²:
\[
S' - S = 225 \quad (3)
\]

4. **Thay diện tích vào phương trình:**
- Thay \( S \) từ (2) vào (3):
\[
(l + 5)(w + 3) - (l \times w) = 225
\]
- Mở rộng biểu thức và rút gọn:
\[
lw + 3l + 5w + 15 - lw = 225 \implies 3l + 5w + 15 = 225
\]
\[
3l + 5w = 210 \quad (4)
\]

5. **Giải hệ phương trình từ (1) và (4):**
- Từ (1): \( l + w = 62 \) => \( l = 62 - w \)
- Thay \( l \) vào (4):
\[
3(62 - w) + 5w = 210
\]
\[
186 - 3w + 5w = 210
\]
\[
2w = 24 \implies w = 12
\]
- Tìm \( l \):
\[
l = 62 - w = 62 - 12 = 50
\]

6. **Kết quả:**
- Chiều dài \( l = 50 \) cm.
- Chiều rộng \( w = 12 \) cm.

Vậy, chiều dài của hình chữ nhật là 50 cm, và chiều rộng là 12 cm.