Để chứng minh tam giác MEF là tam giác cân, ta sẽ xem xét các tính chất hình học của các điểm và đoạn thẳng trong tam giác này.

**Bước 1**: Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Do đó, ta có đoạn thẳng BM = MC.

**Bước 2**: H là trực tâm của tam giác ABC, nghĩa là:
- Điểm H nằm trên đường cao từ A hạ xuống cạnh BC và vuông góc với BC.

**Bước 3**: Vẽ đường thẳng qua H vuông góc với HM, cắt AB tại E và AC tại F.

**Bước 4**: Chứng minh rằng các tam giác HME, HMF là tam giác vuông. Ta có:
- AE vuông góc với HE (vì E nằm trên AB và HE là đường thẳng vuông góc từ H)
- AF vuông góc với HF (vì F nằm trên AC và HF là đường thẳng vuông góc từ H)

**Bước 5**: Ký hiệu ∠EHM = ∠FHM = 90° do tính chất đường thẳng vuông góc và M là trung điểm của BC.

**Bước 6**: Ta xem xét các cạnh ME và MF:
- Tam giác HME và HMF đều có H làm đỉnh, và HE = HF (vì chúng cùng là đường vuông góc từ H đến đoạn thẳng EF)

**Kết luận**:
- Vì ∠EHM = ∠FHM = 90°, và HE = HF, áp dụng định lý Pitago hoặc tính chất về góc và cạnh của tam giác, ta có thể kết luận rằng tam giác MEF là tam giác cân tại H.

Do đó, ta đã chứng minh rằng tam giác MEF là tam giác cân.