Để giải bài toán này, ta cần xác định vận tốc dự kiến ban đầu của người đi xe máy và thời gian thực hiện chuyến đi từ A đến B.

1. **Ký hiệu và dữ liệu ban đầu:**
- Quảng đường từ A đến B: \( S = 120 \) km
- Quảng đường 1/2: \( S_1 = 60 \) km
- Vận tốc dự định: \( v \) km/h
- Vận tốc sau khi tăng: \( v + 10 \) km/h
- Thời gian đến B sớm hơn dự định 24 phút (tương đương \( \frac{24}{60} = 0.4 \) giờ).

2. **Thời gian dự định:**
Thời gian dự định để đi quãng đường 120 km là:
\[
t_{dự định} = \frac{120}{v} \text{ giờ}
\]

3. **Thời gian thực tế:**
Thời gian để đi 60 km với vận tốc \( v \):
\[
t_1 = \frac{60}{v} \text{ giờ}
\]
Thời gian để đi 60 km còn lại với vận tốc \( v + 10 \):
\[
t_2 = \frac{60}{v + 10} \text{ giờ}
\]
Tổng thời gian thực tế là:
\[
t_{thực_tế} = t_1 + t_2 = \frac{60}{v} + \frac{60}{v + 10} \text{ giờ}
\]

4. **Thiết lập phương trình:**
Vì người đó đến B sớm hơn dự định 0.4 giờ, ta có:
\[
t_{dự định} - t_{thực_tế} = 0.4
\]
Thay vào phương trình, ta có:
\[
\frac{120}{v} - \left( \frac{60}{v} + \frac{60}{v + 10} \right) = 0.4
\]
Giải phương trình này:
\[
\frac{120}{v} - \frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 0.4
\]
\[
\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = 0.4
\]
Nhân cả hai vế với \( v(v + 10) \):
\[
60(v + 10) - 60v = 0.4v(v + 10)
\]
\[
600 = 0.4v^2 + 4v
\]
\[
0.4v^2 + 4v - 600 = 0
\]
Nhân cả phương trình với 10 để chuyển thành phương trình bậc hai:
\[
4v^2 + 40v - 6000 = 0
\]
Chia tất cả cho 4:
\[
v^2 + 10v - 1500 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 6000}}{2}
\]
\[
= \frac{-10 \pm \sqrt{6100}}{2}
\]
\[
= \frac{-10 \pm 78.10}{2}
\]
Lấy nghiệm dương:
\[
v = \frac{68.10}{2} \approx 34.05 \text{ km/h}
\]

5. **Tính thời gian:**
Thời gian dự định để đi 120 km là:
\[
t_{dự định} = \frac{120}{34.05} \approx 3.52 \text{ giờ}
\]
Thời gian thực tế:
\[
t_1 = \frac{60}{34.05} \approx 1.76 \text{ giờ}
\]
\[
t_2 = \frac{60}{44.05} \approx 1.36 \text{ giờ}
\]
Tổng thời gian thực tế:
\[
t_{thực_tế} \approx 1.76 + 1.36 \approx 3.12 \text{ giờ}
\]

**Kết luận:**
- Vận tốc dự định là khoảng \( 34.05 \) km/h.
- Thời gian xe máy chạy trên đường đó là khoảng \( 3.12 \) giờ.